Risk Management

VaR & CVaR

Value at Risk (VaR) et Conditional VaR (CVaR) - Les métriques standard de l'industrie pour quantifier le risque de marché. Utilisées quotidiennement par les hedge funds et exigées par les régulateurs (Basel III).

Paramètres
Entrez vos returns historiques (en %)

Minimum 10 returns. Recommandé: 100+ pour VaR fiable, 252 pour 1 an de données journalières.

Historique = empirique, aucune assumption. Paramétrique = assume normalité, plus rapide.

Value at Risk (VaR) et Conditional VaR (CVaR / Expected Shortfall) - Les métriques standard de l'industrie pour quantifier le risque de marché

Value at Risk (VaR)

VaR répond à la question : "Quelle est ma perte maximale avec X% de confiance ?"

VaR 95% = 3% signifie :

  • 95% de chance que la perte soit ≤ 3%
  • 5% de chance (1 jour sur 20) que la perte dépasse 3%
  • Ne dit RIEN sur l'ampleur de la perte si elle dépasse 3%

Conditional VaR (CVaR / Expected Shortfall)

CVaR répond à : "SI je perds plus que VaR, quelle est la perte moyenne ?"

CVaR 95% = 5% avec VaR 95% = 3% signifie :

  • Quand la perte dépasse 3% (5% des cas)
  • La perte moyenne est de 5%
  • CVaR capture le "tail risk" (risque de queue)
  • CVaR ≥ VaR toujours (propriété de cohérence)

Historique vs Paramétrique

VaR Historique
  • ✅ Aucune assumption de distribution
  • ✅ Capture fat tails réels
  • ✅ Non-parametric, empirique
  • ❌ Nécessite beaucoup de données (100+)
  • ❌ Sensible aux outliers
VaR Paramétrique
  • ✅ Fonctionne avec peu de données (30+)
  • ✅ Calcul rapide (moyenne + écart-type)
  • ✅ Formule analytique simple
  • ❌ Assume normalité (souvent faux)
  • ❌ Sous-estime tail risk

Pourquoi CVaR est supérieur à VaR ?

CVaR est une mesure de risque cohérente (Artzner et al. 1999), contrairement à VaR :

  1. Subadditivité : Le risque d'un portfolio diversifié ≤ somme des risques individuels
  2. Monotonicité : Si portfolio A domine B, alors Risk(A) ≤ Risk(B)
  3. Homogénéité positive : Doubler la position double le risque
  4. Invariance par translation : Ajouter du cash réduit le risque

VaR viole la subadditivité → peut pénaliser la diversification. CVaR respecte tous les axiomes.

Formules Mathématiques

VaR Historique:

VaR_α = - F^(-1)(1-α)

F^(-1) = quantile inverse de la distribution empirique

CVaR Historique:

CVaR_α = - E[R | R ≤ -VaR_α]

Moyenne des returns dans la queue (pires 1-α%)

VaR Paramétrique (Normal):

VaR_α = -(μ - z_α * σ)

z_α = quantile normal (1.645 pour 95%, 2.326 pour 99%)

CVaR Paramétrique (Normal):

CVaR_α = VaR_α + σ * φ(z_α) / (1-α)

φ = PDF normale standard

Utilisation en Hedge Fund

Risk Management quotidien

Calcul VaR/CVaR chaque jour pour surveiller exposition au risque. Limite de 95% VaR fixée par le risk manager.

Régulation (Basel III)

Banques doivent calculer VaR 99% sur 10 jours et maintenir capital minimum = 3× VaR.

Position Sizing

Ajuster taille de position pour que VaR portfolio reste sous seuil (ex: 2% capital).

Stress Testing

CVaR 99% simule scénarios extrêmes (2008, COVID) pour tester robustesse.

Détection Fat Tails

Ratio CVaR / VaR indique la présence de queues épaisses :

  • Ratio ≈ 1.1-1.2 : Distribution normale (Paramétrique VaR OK)
  • Ratio ≈ 1.3-1.5 : Fat tails modérés (actions, FX)
  • Ratio >1.5 : Fat tails sévères (crypto, options) - Utiliser Historique VaR

Crypto a souvent CVaR / VaR >1.7 car événements extrêmes fréquents (-20%+).

Comprendre les limites critiques de VaR et CVaR
Papiers fondateurs et ressources professionnelles

Outils complémentaires

Ratios de Performance

Sharpe, Sortino, Calmar pour évaluer votre stratégie

Monte Carlo

Testez votre VaR/CVaR sur milliers de scénarios aléatoires

Position Sizing

Utilisez VaR pour dimensionner vos positions (ex: VaR < 2% capital)

Portfolio Optimization

Minimisez le VaR portfolio avec diversification optimale