Portfolio Variance (σ²p)
La Variance de Portefeuille est la formule centrale de la Théorie Moderne du Portefeuille de Markowitz (Nobel 1990). Elle calcule le risque total d'un portefeuille en combinant les volatilités individuelles, les pondérations, et surtout les corrélations entre actifs. C'est la base mathématique de la diversification.
Format LaTeX : \sigma_p^2 = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n w_i w_j \text{Cov}(R_i, R_j)
Formule fondatrice de Harry Markowitz (1952) dans 'Portfolio Selection', l'article qui a créé la finance moderne. Prix Nobel 1990. Démontre mathématiquement pourquoi la diversification réduit le risque : σ²p < Σ(wi²σi²) si corrélations < 1.
Coeur de l'optimisation de portefeuille : (1) Construction de la frontière efficiente (Markowitz), (2) Minimisation de variance (min-variance portfolio), (3) Risk parity (pondérations par contribution au risque), (4) Calcul de tracking error vs benchmark, (5) Stress testing de portefeuilles.
σ²p diminue avec la diversification si corrélations < 1. Cas limite : corrélation = 1 → aucun bénéfice de diversification. Corrélation = 0 → réduction maximale du risque. Corrélation négative → couverture (hedge). La formule explique pourquoi 20-30 actions suffisent pour éliminer 90% du risque spécifique.
Plage idéale :
Dépend de la classe d'actifs. Comparer σp vs moyenne pondérée des σi individuels pour mesurer le bénéfice de diversification.
Portefeuille 2 actifs : w1=60%, w2=40%, σ1=20%, σ2=15%, ρ12=0.3. σ²p = (0.6)²(0.2)² + (0.4)²(0.15)² + 2(0.6)(0.4)(0.2)(0.15)(0.3) = 0.0144 + 0.0036 + 0.00216 = 0.01896. σp = √0.01896 = 13.8% < moyenne pondérée (18%). Bénéfice diversification : 4.2%.
- ✓Fondation mathématique de la diversification quantitative
- ✓Capture l'effet des corrélations entre actifs (clé de la MPT)
- ✓Permet optimisation mathématique de portefeuilles (programmation quadratique)
- ✓Standard académique et industrie depuis 70+ ans
- ⚠Suppose covariances constantes dans le temps (faux en périodes de crise)
- ⚠Nécessite estimation de la matrice de covariance (n(n+1)/2 paramètres)
- ⚠Erreur d'estimation : covariances historiques ≠ futures
- ⚠Instable pour grands portefeuilles (overfitting)
La variance de portefeuille est l'équation centrale de la MPT. Markowitz minimise σ²p pour construire la frontière efficiente.
La diversification réduit le risque spécifique (terme diagonal de la matrice) mais pas le risque systématique (covariances).